A MATEMÁTICA É A LEI

Na Bíblia, mais precisamente no Livro do Êxodo, após a fuga do Egito Moisés conduz seu povo até o sopé do Monte Sinai. Ali Moisés sobe sozinho até o topo da montanha, onde Deus lhe entrega as tábuas originais com os 10 Mandamentos (imagem acima). Após retornar, Moisés depara-se com o bezerro de ouro, uma profanação. Irado, ele quebra as tábuas, a terra abre-se e engole todos os profanadores junto com o ídolo de ouro. Moisés então vê-se obrigado a subir novamente ao topo do Monte Sinai, onde desta vez Deus o obriga a esculpir com suas mãos a novas tábuas, e sobre esta nova lei, se faria uma nova lei entre Deus e seu povo escolhido.

Toda a Bíblia conta histórias que foram contadas oralmente por gerações, e na base do “quem conta um conto, aumenta um ponto”, histórias reais tomavam cada vez uma dimensão mais excepcional e fantástica, além de inserir detalhes que servem para embasar lições de moral.

Desta forma, podemos entender a história das tábuas da lei como uma alegoria para contar algo muito maior.

Podemos dividir esta alegoria em partes equivalentes, genéricas:

– Quando Moisés recebe as tábuas esculpidas pelo próprio Deus, significa que um poder maior (Deus, a natureza) impõe ao ser humano suas leis;

– O Bezerro de Ouro é o símbolo das coisas terrenas, vistosas, mas vazias, sem poder real, que nós criamos para adorar, e por ele somos capazes de nos curvarmos e até nos sacrificarmos. Ele tanto pode simbolizar pessoas (como líderes carismáticos) quanto bens materiais;

– Adorar o Bezerro de Ouro é uma afronta direta ao primeiro Mandamento das tábuas e a fúria com que Moisés quebra as tábuas mostra a fúria que pode ser desencadeada ao ignorar este poder maior e substituí-lo por um ídolo sem valor;

– E Deus abriu o chão e tragou todos os idólatras bem como seu ídolo de ouro. É uma alusão ao malefício de não se observar rigorosamente a obediência ao poder maior;

– Por fim, Moisés teve de retornar ao topo do monte Sinai e esculpiu com suas mãos as leis ditadas por Deus. É uma alusão que, após um grande malefício, o homem se volta para o poder maior e cria ao seu próprio modo leis que tentam seguir as leis ditadas pelo poder maior, e estas leis são, a partir de então, seguidas por todos, em comunhão com a força maior.

Alegorias como esta, que normalmente envolvem a fúria divina, são quase recorrentes em todas as grandes religiões, e não surpreendem mais quem as estuda em profundidade, exceto por dois detalhes:

– Esta história nos lega um código de leis a serem obedecidas;

– E este código possui, lá no seu cerne, a mais pura matemática.

Os Dez Mandamentos

O código de 10 mandamentos deixados por Deus a Moisés diz exatamente o seguinte:

1 – Amar a Deus sobre todas as coisas.
2 – Não tomar seu santo nome em vão.
3 – Guardar domingos e festas de guarda
4 – Honrar Pai e Mãe
5 – Não matar
6 – Não pecar contra a castidade
7 – Não roubar
8 – Não levantar falso testemunho
9 – Não desejar a mulher do próximo
10 – Não cobiçar as coisas alheias

Há algumas coisas interessantes sobre os 10 Mandamentos.

Os três primeiros lidam com aspectos do respeito a Deus. São, antes de tudo, mandamentos onde se estabelece uma autoridade sobre todas as pessoas, uma autoridade de uma força maior e que precisa ser observada. É uma forma de impor uma autoridade inquestionável. Este é o Deus único, que deve ser fielmente obedecido e revogam-se todas as disposições em contrário. E não tem discussão.

Os sete seguintes tem um cunho de limitar certos comportamentos individuais que seriam danosos à vida social, em nada se referindo a algo espiritual.

Não só a proposição dos Mandamentos é curiosa, como várias relações que ocorrem entre elas (a mulher ser relacionada no 9º mandamento, junto com o 10º sobre coisas, e não ao 6º sobre a castidade, por exemplo) mostram que este é um código muito antigo, originado em sociedades bastante primordiais.

Estranho? Talvez, não é mero acaso.

Como surgiram as primeiras leis

Vamos pensar no que seria a vida em sociedade se as pessoas pudessem se matar livremente, sem medo da punição. Teríamos uma aglomeração de pessoas que tenderiam ao contínuo processo de vingança. Mais cedo ou mais tarde isso desmancharia qualquer tecido social, e não era isso que as pessoas desejavam.

Animais que vivem em grupos, como homens da caverna e lobos possuem determinados comportamentos sociais típicos para grupos de pequeno número de indivíduos, e pelo menos parte dessas regras pode ser instintiva. Entretanto, quando o ser humano evoluiu de grupos de caçadores coletores e se fixou em alguns lugares e praticou a agricultura, o número de indivíduos cresceu e as regras de grupos e bandos não serviam mais.

Da observação, geração após geração, do que dava certo e errado na vida em comunidade, e quais as consequências dessas interações, foi se criando um conjunto de regras que beneficiavam a vida em comunidade, e que punia quem as transgredisse.

Estas leis têm de lidar com um verdadeiro paradoxo. Todo indivíduo é movido pelo interesse individual, e é mais fácil se interessar por algo que traga um benefício certo e imediato do que um benefício futuro e incerto, embora provável e talvez não tão lucrativo. Entretanto, viver em sociedade certamente é um benefício muito maior do que qualquer benefício individual, mas é algo que se constrói ao longo de gerações, e nem todos enxergam esses benefícios por serem remotos.

Assim, os indivíduos vivem entre o código que dita como deveria ser mantido um comportamento social aceitável e os interesses individuais, mesmo que estes conflitem com os interesses dos demais.

É aqui onde entra a matemática.

O Dilema dos Prisioneiros

Durante séculos se acreditou que seria impossível racionalizar o comportamento humano em termos matemáticos. Em princípio é muito difícil predizer o comportamento de um ser humano específico, mas uma massa de indivíduos se torna mais previsível no âmbito da estatística. Foi pela padronização de certos modelos básicos de comportamento que a matemática pôde ser introduzida na maneira da sociedade humana reagir.

Um dos modelos clássicos mais elementares é o chamado “Dilema dos Prisioneiros”.

O modelo funciona assim: a polícia prendeu dois suspeitos por um crime mas não pode provar sua culpa. Então é proposto a cada prisioneiro duas possibilidades: ele pode se calar ou pode denunciar seu comparsa. São então mostradas as seguintes possibilidades a eles:

– Se os dois prisioneiros se calarem, a polícia não pode provar nada, e eles ficarão presos por 1 ano por um crime menor;
– Se os dois prisioneiros denunciarem, ambos ficarão presos por 5 anos;
– Se um prisioneiro se calar e o outro denunciar, o que denunciou sai livre enquanto o outro fica preso por 20 anos como autor único do crime.

As situações podem então ser representadas pelo seguinte quadro de escolhas:

O dilema dos prisioneiros: o que será melhor?

Estudando este modelo, fica nítido que se ambos se calarem, a pena seria pequena, porém ambos sabem que se eles se calarem, a tentação de denunciar é grande pois se um colabora e o outro denuncia, o outro se beneficiará imensamente e esse um ficará com todo o prejuízo. Fica o dilema: denunciar ou não denunciar?

O foco do dilema dos prisioneiros está exatamente nesta questão. Colaborar ou não colaborar diante dos benefícios de cada opção, sendo que o outro pode ou não colaborar. A partir do instante que criamos este modelo, ele pode ser visto como um jogo tipo cara ou coroa e pode ser operado como uma equação onde as variáveis tem probabilidades de ocorrer. Assim podemos traduzir o comportamento humano em termos matemáticos.

Vemos então que a Teoria dos Jogos tem esse nome porque justamente lida com as possibilidades de escolha de diferentes “jogadores” (players) diante de diferentes interesses e incentivos, quando um não sabe completamente o que o outro pensa. Quem estuda o problema se coloca na posição de cada player e faz uma “jogada” e estuda o resultado obtido. Considerando os benefícios colhidos ou até imaginados por cada parte, torna-se possível prever melhor qual a probabilidade do comportamento real dos players naquela situação.

O Dilema dos Prisioneiros é interessante porque leva a duas soluções opostas:

– Pelo “Ótimo de Pareto”, a melhor solução é que ambos se calem, minimizando o conjunto dos prejuízos dos prisioneiros sem que haja diferenças de vantagem entre eles;

– Pelo “Equilíbrio de Nash”, a solução é que ambos denunciam, pois nenhum jogador consegue lucrar pela mudança unilateral de sua decisão. Em outras palavras, cada prisioneiro não sabe se o outro irá ou não colaborar. Colaborar pode tanto significar pegar a pena pequena como pegar a pior delas, enquanto denunciar significa pegar uma pena média ou sair livre. Na média entre estas opções, denunciar acaba se tornando a melhor opção por minimizar os riscos individuais.

Esta oposição entre soluções evidencia outro problema em potencial. Em muitos problemas, uma determinada solução exibe vantagens evidentes e desvantagens ocultas, enquanto outra solução tem desvantagens evidentes e vantagens ocultas.

Este é o foco da constante disputa entre investidores que querem desmatar determinada área em troca de um benefício imediato, enquanto ecologistas pensam na preservação para benefícios duradouros.

Jogos iterativos

O Dilema dos Prisioneiros foi proposto originalmente em 1950 e ofereceu uma ferramenta de análise de muitas situações, gerando inclusive muitas variantes do modelo para estudar outros tipos de caso. Porém, em 1984, Robert Axelrod expôs em seu livro “A evolução da cooperação: o dilema do prisioneiro e a teoria de jogos” uma nova abordagem, onde o modelo podia ser repetido com iterações entre os prisioneiros, permitindo que um prisioneiro traído pudesse revidar na reprise do teste. Axelrod chamou este modelo de “dilema do prisioneiro iterado” (DPI).

Axelrod propôs aos seus colegas que oferecessem algoritmos automatizados que respondessem ao DPI com o máximo de ganho. A ideia de Axelrod era demonstrar como comportamentos altruístas poderiam emergir a partir de escolhas egoístas quando diferentes algoritmos automatizados se desafiassem mutuamente, uma intuição do processo de comportamentos emergentes, tratado na Teoria do Caos e aplicado ao comportamento social.

Ao longo dos anos, várias implementações de algoritmos foram feitas para testar a DPI, incluindo sistemas com inteligência artificial e algoritmos genéticos. Mesmo com diferentes implementações de diferentes complexidades, quando confrontados uns contra os outros, o comportamento de sempre cooperar acaba se impondo após vários ciclos de teste, comprovando a hipótese de Axelrod.

A proposta da DPI foi revolucionária porque a vida em sociedade é uma constante iteração entre seus membros e não de jogos isolados.

O Dilema dos Prisioneiros e a Teoria da Evolução

Charles Darwin propôs em sua Teoria da Evolução que organismos sofriam mutações ao longo do tempo, mas apenas os mais adaptados sobreviveriam. A Teoria da Evolução, quando entendida de um ponto de vista matemático, pode ser vista como um tipo de DPI. No lugar de escolhas, mutações e no lugar de benefícios, a sobrevivência da espécie. Portanto, o fator matemático que permite que a evolução ocorra é o mesmo que permite com que comportamentos altamente colaborativos emerjam em uma sociedade.

Os escassos registros geológicos mostram que a vida no planeta Terra começou muito cedo, provavelmente há 4 bilhões de anos. Desde então, na maior parte desse tempo, a vida foi unicelular. Mas há cerca de 650 milhões de anos surge um tipo de organismo unicelular diferente dos antigos procariontes. Eram os organismos eucariontes, onde o código genético estava concentrado em um núcleo celular. Esta evolução aparentemente simples criou uma revolução evolucionária que criaria todos os animais e plantas multicelulares. Animais e plantas multicelulares são organismos onde células com o mesmo código genético apresentam diferenciação para cumprir papéis diferentes num intenso trabalho colaborativo. Esta evolução ditaria as formas de vida mais evoluídas dali para frente. A colaboração entre células com diferentes funções foi provavelmente o maior passo evolutivo desde o surgimento da vida.

Este processo evolutivo não se encerrou aí. Ele se repete constantemente e em diversos graus.

Um exemplo é a da vespa, um inseto alado que se adaptou à vida solitária ou em pequenos grupos, mas que deu origem tanto às formigas quanto às abelhas. Em algum ponto da evolução, a necessidade de colaboração foi crucial para a adaptação e o Dilema dos Prisioneiros Iterado (DPI) agiu por gerações até a criação dos primeiros formigueiros e colmeias. A DPI agiu tão profundamente nesse processo que formigas e abelhas possuem diferentes morfologias conforme o tipo de trabalho que realizam. Uma formiga ou abelha, enquanto indivíduos são muito limitadas perto da vespa original num aparente retrocesso evolucionário. Porém este aparente retrocesso está dentro de um cenário evolutivo maior, onde a colaboração de indivíduos altamente especializados resulta em organismos maiores, esparsos, chamados de formigueiro e colmeia.

Árvore evolucionária das vespas, abelhas e formigas

Os primeiros homens

O registro arqueológico mostra que o homem primitivo era um nômade caçador e coletor de alimentos, e que vivia em pequenos grupos familiares. Mas mesmo em grupos era necessário que algumas regras sociais fossem seguidas. Era necessário, por exemplo, que houvesse um chefe que coordenasse as ações do grupo. Ele mandava e os demais obedeciam. Estamos falando, portanto, de um mecanismo de cooperação para benefício de todo o grupo.

Quando o homem passou da caça para a agricultura, ele se fixou em um lugar específico, e tanto a abundância de alimentos como o melhor aproveitamento do espaço permitiu o surgimento das primeiras cidades e civilizações. Conforme estas cidades cresciam e as civilizações avançavam, as relações entre seres humanos se tornavam mais e mais complexas. Geração após geração diferentes situações se repetiam, assim como seus resultados nem sempre positivos. Em sua capacidade de observação, o homem percebeu que algumas atitudes deveriam ser proibidas enquanto outras deveriam ser incentivadas. Surge então a noção do direito através dos primeiros códigos de leis.

O ser humano apresenta um problema evolucionário bastante curioso. Sua origem é a de um animal que vive em grupos, e dado que ele mudou muito pouco nos últimos milhares de anos, esta ainda é sua base instintiva. Vemos isto em ação quando as pessoas buscam pertencer a determinados grupos, quer seja uma opção política, uma religião, pertencer à torcida de um time ou a um grupo (ou “panelinha”) de amigos. Em contraste, o ser humano evoluiu culturalmente para viver em sociedade, e sua maior inteligência e racionalidade sobre outros animais é um fator importante neste processo. Mas o ser humano não é um indivíduo adaptado pela evolução à vida social plena como formigas e abelhas, e disto nasce um constante atrito entre as escolhas que as pessoas fazem em relação a grupos contra as escolhas em sociedade. É assim que surgem as quadrilhas de assaltantes.

Isto é que torna a importância e o rigor das leis ainda mais pesados na vida humana, e é por isso que elas são tão desagradáveis para muitos. Leis existem para preservar o bom funcionamento da sociedade, mesmo em oposição aos instintos de alguns de seus membros.

É importante notar que praticamente todas as religiões impõem regras sociais, morais e éticas a seus seguidores. Há várias razões para isso. Uma delas é a antiguidade com que os primeiros códigos de conduta socialmente aceitáveis foram estabelecidos, na altura da Idade do Bronze. Naquela época a compreensão do mundo à volta das pessoas era muito reduzido e a educação era algo para poucos. As estruturas sociais eram mais simples e muitas funções se sobrepunham. Religião, política, medicina, educação eram atributos muitas vezes conferidos a um ou a poucos homens dentro de uma casta da sociedade. Era mais fácil estabelecer bons modos de conduta social ao poder inquestionável de algum deus, porque não era permitido questionar.

Foi a partir desta condição primitiva que surgiram as primeiras grandes civilizações das quais descendemos. Assim, todos crescemos em diferentes níveis com o balizamento de leis jurídicas, de mandamentos religiosos, pela moral, pela ética e os bons costumes, que nada mais são que regras para o bom convívio social.

A colaboração está no Código!

Todas as leis modernas derivam dessa noção primitiva que boas ações promovem o bem estar da comunidade e devem ser incentivadas, enquanto as más ações devem ser condenadas e punidas. Nosso Código de Trânsito Brasileiro (CTB) é um exemplo disso. Ele é escrito de forma a padronizar o comportamento dos motoristas de forma a estabelecer um comportamento mais colaborativo entre eles, sem perder a noção que um veículo mal utilizado é uma arma com o potencial de matar.

Vejamos alguns itens do artigo 29 do CTB:

Art. 29. O trânsito de veículos nas vias terrestres abertas à circulação obedecerá às seguintes normas:

I – a circulação far-se-á pelo lado direito da via, admitindo-se as exceções devidamente sinalizadas;

II – o condutor deverá guardar distância de segurança lateral e frontal entre o seu e os demais veículos, bem como em relação ao bordo da pista, considerando-se, no momento, a velocidade e as condições do local, da circulação, do veículo e as condições climáticas;

…§ 2º Respeitadas as normas de circulação e conduta estabelecidas neste artigo, em ordem decrescente, os veículos de maior porte serão sempre responsáveis pela segurança dos menores, os motorizados pelos não motorizados e, juntos, pela incolumidade dos pedestres.

Podemos observar que o Art. 29 do CTB trata essencialmente de regras que levam os motoristas a se comportarem de uma forma ordenada e colaborativa, reduzindo o atrito nos fluxos de trânsito e estabelecendo certas ordens de precedência de direitos. Veículos maiores e mais potentes têm de zelar pelos veículos menores e mais frágeis, por exemplo.

Observamos a mesma preocupação por todo código, e ele existe para tornar o trânsito um ambiente melhor e útil para todos. Ele pressupõe não só a colaboração, mas também a necessária cordialidade entre motoristas.

Desrespeitar as leis de trânsito é uma forma tola de colocar em risco a si mesmo e aos demais. Às vezes parece besteira, coisa de chato que quer estragar a diversão, mas as leis tem fundamentos mais profundos do que muitas vezes podemos imaginar.

Boas e más regras

Vivemos num mundo onde achamos que tudo que é antigo é passado, obsoleto, piegas e o que vale é o moderno. Porém muitos códigos e ensinamentos antigos vem da observação milenar do comportamento humano e por isso mesmo continua perfeitamente válido. Quando substituímos estes ensinamentos por algo mais “moderno”, podemos estar deixando nossa natureza humana de lado, uma força maior sobre nós mesmos, e passamos a adorar uma versão moderna do bezerro dourado. Este é um erro que poderemos nos arrepender.

As normas vistas no Art. 29 do CTB são exemplos de boas regras e que levam a um trânsito melhor. Elas já foram exaustivamente testadas para sabermos disso.

O nosso maior problema é quando criamos leis sem pensarmos na iterações que ela poderá causar.

Exemplo para este caso seria a lei do rodízio aqui em São Paulo.

Antes do rodízio, todos poderiam circular com seus carros em total liberdade. Veio o rodízio e impôs uma condição do carro não andar uma vez por semana das 7h00 às 20h00 e imputava uma penalização pecuniária a quem não obedecesse (ainda não havia a sistemática do acúmulo de pontos na CNH). Só esqueceram que as pessoas são movidas por incentivos e vantagens.

Inicialmente o rodízio era estadual com motivações ambientais e só ficava ativo nos meses de inverno e atrapalhavam as pessoas por uma pequena parcela do ano. Era incômodo, mas as pessoas davam um jeito. Porém a situação mudou quando o rodízio passou a ser municipal e permanente. Isso mudou o fiel da balança das decisões dos motoristas.

Antes o que era um incômodo transitório, tolerável, passou a ser um incômodo permanente e que afetava a principal opção de locomoção de muitos motoristas. Se antes, com o incômodo transitório, não compensava a compra de outro carro como solução, com o incômodo permanente esse investimento passava a fazer todo sentido. A grande maioria preferiu investir na compra de um segundo carro do que usar o péssimo transporte público.

A escolha dos motoristas foi a de não colaborar, o contrário do que pretendia o poder executivo.

Caso as autoridades tivessem um mínimo de conhecimento da importância da Teoria dos Jogos, teriam percebido facilmente que esta lei não alcançaria seus objetivos no longo prazo, e hoje convivemos com essa lei canhestra que afeta a todos da pior maneira possível.

O Nirvana é aqui

Acreditar na promessa de uma terra prometida de aveia e mel após a vida terrena para aqueles que foram bons, justos e caridosos é uma questão de fé de cada um. Entretanto, é inegável que as regras religiosas normalmente colaboram com as leis humanas no sentido de se criar uma sociedade mais sadia para todos. Ao observarmos os bons preceitos, nossa vida material será melhor, independente do que teremos após o seu fim.

A vida no planeta tem bilhões de anos. O ser humano existe há milhares de anos. O automóvel, há pouco mais de um século. Porém as mesmas leis matemáticas que permitiram a evolução da vida no planeta e a construção de uma sociedade é a mesma que faz do trânsito um ambiente mais sadio para todos.

É Natal, e não importa em que você acredita. Esqueça por um instante o materialismo da troca de presentes. Esqueça por um instante a árvore de Natal, um símbolo tão vazio hoje em dia.

Concentre seus pensamentos no que disse aquele a quem comemoramos seu nascimento neste feriado. Não importa no que você acredita, mas acredite que a prática sincera das lições que ele deixou tornará melhor a sua vida e a de todos ao seu redor, não no prometido paraíso, mas aqui mesmo. Sua atitude vai mudar pouco o mundo lá fora? Não importa. A diferença pode ser pouca, mas ela não é nula e você cumpriu a sua parte com todos. Se a maioria cumprir com a sua parte, esta será uma sociedade bem melhor para viver para todos.

Que este pensamento não esteja com você somente agora, no espírito da festa, mas a cada vez que você se sentar ao volante.

Pode acreditar. É matemático.